矩阵分析

线性空间

中文/毛子/工科教材中常见的叫法。 或者叫向量空间。

定义

如果数集 任意两个数加减乘除仍属于 ，即 对四则运算是封闭的, 则 是一个数域

对于一个 在上有8条公理，则称 是 上的线性空间

1. 加法交换
2. 加法结合
3. 定一个 ,
4. 对于任意的元素, 存在 使得
5. 乘法对加法的分配
6. 加法对乘法的分配
7. 数乘的结合率
8. 具有单位元

线性无关

设 是域 上的线性空间，。

向量组 线性无关 当且仅当

其中 是 的零向量。

意味着，这组向量中的任意一个向量，都无法用其他的向量通过系数加减得到。

基底

向量组 中的每个向量线性无关，并且 中的任一向均可以由 线性组合表出，那么这组向量就是一组基底。

通过线性组合的定义，存在任意的,有

这组系数，也就是这个向量，在这组基下面的坐标。

• 推论1： 维空间 中任意n个线性无关的向量都是基底，任意k( <n ) 个线性无关的向量组可以通过扩充成为一组基
• 推论2: 对n维空间V中任意给定的一组基底和任意向量x，x由这组基底唯一线性表出
• 推论3: 一个可逆矩阵可以把一组基映射到另一组基:

维数

设是 上的线性空间，则 的基底中线性无关的元素个数为的维数，记为

， 是有限维空间

以上定义和推论可以告诉我们这些直观的感受：

• 在同一个数领上，只讨论有限维线性空间的线性结构时，区别本质上是维数
• 任何指定基底的操作，都是为这个线性空间注入观测坐标系，让我们通过研究坐标，矩阵的方式，对空间性质进行观测研究.
• 基底本身并不改变空间本身的线性结构，只影响我们对他的表达方式。

过渡矩阵

基底里面的推论3，表达了两个基底之间的映射。此时如果有一个向量分别在两个基底下的坐标


则有

过渡矩阵说明了当我们在研究任意的坐标转换时，只需要研究基底之间的线性变换即可。

子空间 维数定理

定义

设是数域上的线性空间，非空集合, 如果中的向量关于上的线性运算也构成线性空间，则称上的子空间

其中和是的两个平凡子空间

交空间

设 是向量空间 的子空间。它们的交空间定义为

也就是说， 由同时属于 和 的所有向量组成，并且 仍然是 的子空间。

x轴和y轴交于0，0就是子空间，则两个也是直和

和空间

设 是向量空间 的子空间。它们的和空间定义为

也就是说， 由从 里取一个向量、从 里取一个向量相加得到的所有向量组成，并且 也是 的子空间。

最直接的，就是xy平面

直和空间

设 是向量空间 的子空间。若满足

则称 是 与 的直和，记作

或者说，一个子空间 = +, 在 上有唯一的分解，那么是和的直和空间

直和定理：

代数补空间

如果 = + 那么和互为代数补空间

维数定理

线性空间之间的不同

两个线性空间的不同，可以从以下方面直观感受：

维数不同

时, 和不可能同构
这时，线性变换可以看作是“从n维到m维”的类型，投影，或者的嵌入。

维数相同，但集合层面存在差异，但是结构可以同构

考虑这种情况：

• : 所有次数≤2的多项式
• 
  一个的元素是多项式，一个的元素是三元组。几何不同，但是作为线性空间是同构的。

线性变换

定义

对， 是数域 上的（两个不同的）线性空间，如果映射 满足

则称是 到 的一个线性映射

• 这里面是一个函数/映射。具体的函数值是在里面的向量。
• 其中代表的是线性组合的意思。
• 类比于线性齐次多项式，线性变换的输入是一个线性空间里面的向量的线性组合，输出是另一个线性空间的向量。
• 这个定义同时提示了，这个线性变换，可以分别对线性组合里面的每个量进行变换，之后在再进行线性组合
• 即，先在里做线性组合后再变换，等价于，先分别变换得到里面的向量，再用同样的系数再线性组合

代表的线性空间相当于是值域, 相当于定义域。

线性变换的另一个好处，就是能提供两个不同的线性空间之间的联系关系。只要这两个集合带上线性空间结构（在F上的运算封闭），就能通过线性变换矩阵进行转换。

比如多项式集合到坐标向量的转换：

线性变换能够把不同类型的对象联系起来，但前提是这些对象所在的集合本身是线性空间。

所有从的线性变换集合，记做

表示一个具体的线性变换。

一个矩阵在这个线性变换选定基底后得以给出。

核空间

固定一个线性变换
找出所有被送入中0的的集合，这些x组成的空间就叫核空间（0空间）

叫零度，也就是有多少个方向会被压成0

和空间一定也是的一个子空间。既然这个空间本身是由那些在线性变换过程中被压缩到0向量张成，那么这个空间的维度也就揭示了原空间被压扁的维度。

相空间

, 线性变换的秩也就是

相空间表达了那些输入被送到哪里。

亏加秩定理

在线性代数里面，矩阵的秩，代表了矩阵中那些有效的部分。这里我们扩展：

根据定义自然而然的引出亏加秩定理:
设,

一个线性变换（具象化来讲，就是矩阵）由他的像空间，和被压缩到0的零空间组成。

线性变换的矩阵表示，及同构

线性变换的矩阵表示

我们其实隐约已经注意到了，线性变换，实际上就是矩阵的的抽象表示，而矩阵，则以具体的数字，描述了一个线性变换。
我们现在来讨论线性变换的矩阵表示。

在一个线性空间中，任意一个向量，都能够由一组基的线性组合表出，而在同一个线性空间的线性变换，结果也是一个在这个线性空间中的向量(这里线性变换的系数使用来表示便于坐标和单纯系数的区分)，

由线性变换的性质，

我们想关注于线性变换对整个线性空间结构的改变，而基底是能张出这个空间的，任何其他的向量都能同构这组基线性表出，所以我们只关注每个基底在这个线性变化过程中的改变。

设是F上的线性空间， , 即V由这一堆张成，并且定义一个从到的线性变换，

则称矩阵 是在基底下的矩阵表示。

只要基确定，那么这个线性变换的矩阵表示就是唯一的。因为在固定的基下，向量坐标的展开唯一。所以每个线性变换的系数也就唯一，而矩阵的每一列也都唯一，那么整个矩阵就唯一（人话，具体数学推倒可以自己试一下）

线性变换的同构， 矩阵的相似

变换同构

两个线性变换做的是同一件事，只是坐标系/基不同，所以写出来不同，这就是同构。
具体一点，考虑三个线性变换（注意这里是线性变换而非矩阵）

如果满足
也就是说，任意一个向量，在两不同的空间中，执行不同的线性变换T，S，最后通过转换到同一个坐标下，是相同的结果，那么T和S就是同构的。

同构意味着：

• 特征值一样（拉伸倍率一样）
• 特征值的维数一样
• Jordan结构一样（细粒度结构，下面会讲）

矩阵相似

当把线性变换写成矩阵后，
线性变换同构也就是矩阵相似。
因为坐标转换使用的过渡矩阵:

这也就是矩阵相似。
也就是

• 同一个T换基，两个矩阵必定相似
• 两个矩阵相似，可以看成同一个线性变换在两种坐标下